플로이드 워셜 알고리즘

1. 개요

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다.
• 플로디으 워셜(Floyd-Warshall)알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행
  • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하진 않다.
• 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
• for문을 3번 사용하므로 많은 노드에서는 비효율 적이다.
• 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다.
• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인한다.
  • a - b의 최단 거리보다 a - k - b가 더 짧은지 검사
• 점화식

 

2. 동작 과정 살펴보기

[초기 상태]

• 그래프를 준비하고 최단 거리 테이블을 초기화한다.

• 행은 출발노드, 열은 도착노드
  • 1번노드에서 2번노드로 가는 간선의 비용은4, 테이블도 행1, 열2보면 4가 기록

 

[Step 1]

• 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

• 이중 반복문을 이용해서 모든 a에서 모든 b로 가는 경로를 찾아보자.
• 점화식에 따라 a + b OR a + k + b를 비교해서 찾는다.
• 갱신되는 부분만 하늘색으로 표시했다. 1번 열에되는 부분, 자기자신 -> 자기자신은 갱신되지 않으므로 흰색으로 되어 있다.
• D23 = 2번에서 3번노드로 가는 경우, K를 거쳐가는게 더 작은지 큰지 비교해서 갱신한다.
• 2번노드에서 4번노드로 가는 경우 간선이 없기 때문에 무한으로 설정되어 있었지만 2번-1번-4번 이렇게 가운대 거쳐서 가는 방법이 있으므로(더 빠르므로) 9로 생긴된 것을 알 수 있다.

 

[Step 2]

• 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

• 갱신이 될 수 있는 부분만 파란색으로 표시했다.
• 점화식을 살펴보면 다 2번노드를 거쳐갈 수 있도록 되어있다.

 

[Step 3]

• 3번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

• 3번노드도 같은 로직을 이용한다.
• 4번 - 1번은 무한이였지만 4번 - 3번 - 1번 해서 7로 갱신됐다.

 

[Step 4]

• 4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

• K라는 변수를 고려하여 점화식을 갱신하도록 한다.
• 즉 3중 반복문을 이용해야한다.

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3. 알고리즘

INF = int(1e9) #무한을 의미

#노드, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
#2차원 리스트(그래프 표현)을 만들고 무한으로 초기화
graph = [[IMF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

#자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

#각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    #A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

#점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
            
#수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        #도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end = " ")
        #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end = " ")
    print()

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4. 성능 분석

• 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행
  • 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다.

시간복잡도