최단 경로 문제 (다익스트라)

출처 : 이코테2021

• 최단 경로 알고리즘이란 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
  • 1. 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
  • 2. 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 3. 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
• 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
• 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

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1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산
• 음의 간선이 없을 때 작용
• 그리디 알고리즘으로 분류
  • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택하는 과정을 반복

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1.1 다익스트라 최단 경로 알고리즘

1. 출발 노드를 설정
2. 최단 거리 테이블을 초기화
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신
5. 위의 3, 4번과정을 반복

 

• 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다.
• 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 갱신한다.

 

• 갱신 완료!

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2. 다익스트라 알고리즘: 동작 과정 살펴보기

[초기 상태]

• 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정한다.

• 출발 노드는 1번노드라고 가정을 한다.
• 출벌 거리는 0으로하고 나머지 노드는 무한으로 설정한다.
• 방문하지 않은 노드중 가장 짧은 거리의 노드를 찾아 방문한다.

 

[Step 1]

• 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 1번 노드를 처리한다.

• 1번 노드를 통해 갈 수 있는 경로는 2번 3번 4번이있다.
• 인접한 노드를 하나씩 확인한다.
• 2번까지의 거리는 무한이였는데 1에서 2로 거쳐갈때는 0 + 2 ( 현재 값 > 거쳐갈 때 값이 더 작으므로) 갱신한다.(True)
• 노드 번호2(인덱스)는 2, 3인덱스는 5, 4인덱스는 1로 갱신되었다.
  • 노드 1로부터 각각의 인덱스 노드까지 걸리는 거리를 적었다.

 

[Step 2]

• 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 4번 노드를 처리한다.

• 마찬가지로 4번 노드와 인접한 노드들을 확인한다.
• 4번 노드를 거치는건 이미 1로 고정되어 있다.
  • 따라서 3번노드로 갈때는 (1번노드 -> 4번노드 는 이미 1로 확정, + 3)을해서 4가 된다.
    • 현재 값 5 < 거쳐갈 때 4이므로 더 작은 4로 갱신해준다.
  • 5번노드로 갈때는(1번노드 -> 4번노드는 이미 1로 확정, + 1)을 해서 2가된다.
• 그다음 노드번호 2,3,5,6중에 가장 작은 거리를 가지고 있는 노드를 선택해야한다.
  • 하지만 2번노드와 5번노드가 거리가 같다!!
  • 하지만 일반적으로 노드 번호가 더 낮은거를 먼저 선택해서 진행한다.

 

[Step 3]

• 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 2번 노드를 처리한다.

• 2번 노드를 거쳐가는 2가지
  • 1->2->3 or 1->2->4
• 3번 노드를 거쳐지나갈 땐 현재 값(4)가 거쳐갈 때(2+3)보다 작으므로 갱신하지 않는다. (False)
• 4번 노드도 마찬가지로 False이다.
• 그럼 바로 위 그림처럼 테이블이 갱신된다.
• 그다음 현재 노드번호에서 가장 짧은 거리를 가지고 있는 5번노드를 선택한다.

 

[Step 4]

• 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 5번 노드를 처리한다.

• 5번 노드를 거쳐가는 경우 3번, 6번을 각각 확인하여 갱신한다.

 

[Step 5]

• 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 3번 노드를 처리한다.

 

[Step 6]

• 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 6번 노드를 처리한다.

• 마지막노드는 처리하지 않아도 된다.

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3. 다익스트라 알고리즘 특징

• 그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택하여 임의적으로 반복
• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정
• 알고리즘을 한 번 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장
• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다

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4. 간단한 구현 방법

INF = int(1e9)

#노드의 개수, 간선의 개수
n, m = map(int, input().split())

#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트
graph = [[] for i in range(n + 1)]
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    #a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))
    
#방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 #가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index


#다익스트라 알고리즘
def dijkstra(start):
    #시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    #시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        #현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        #현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            #현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost
                
#다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    #도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

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5. 간단한 구현 방법 성능 분석 (시간 복잡도)

시간복잡도

• 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다.
• 10,000번 이상이면 매우 커지게 된다. 그럼 어떤 자료구조를 사용할까? (우선순위 큐)