다이나믹 프로그래밍(동적 계획법)의 구현은 일반적으로 두 가지 방식(탑다운과 바텀업)으로 구성
동적(Dynamic)이란?
자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 프로그램이 실행되는 도중에 실행에 필요한 메모리를 할당하는 기법
다이나믹 프로그래밍에서 다이나믹은 별다른 의미가 없다.
1. 다이나믹 프로그래밍의 조건
최적 부분 구조(Optimal Substructure)
큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.
중복되는 부분 문제(Overlapping Subproblem)
동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 한다.
1.1 피보나치 수열
다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있다.
점화식
인접한 항들 사이의 관계식
피보나치 수열을 점화식으로 표현하면 다음과 같다.
프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열이나 리스트를 이용해 표현한다.
피보나치 수열이 계산되는 과정은 다음과 같이 표현할 수 있다.
n번째 피보나치 수를 f(n)라고 할 때 4번째 피보나치 수 f(4)를 구하는 과정은 다음과 같다.
f(4)를 호출하면 f(3)과 f(2)가 나오고 서로 더한다.
f(3)이 호출됐으므로 f(2)와 f(1)을 호출하고 서로 더한다.
1.2 피보나치 수열 단순 재귀 소스코드
def fibo(x):
if x == 1 or x == 2:
return 1
return fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
#출력 결과
print(fibo(4))
3
1.3 피보나치 수열의 시간 복잡도 분석
출처 : 이코테2021
단순 재귀 함수로 피보나치 수열을 해결하면 지수 시간 복잡도를 가지게 된다.
다음과 같이 f(2)가 여러 번 호출되는 것을 확인할 수 있다. (중복되는 부분 문제)
이미 구한 답을 메모리에 저장하지 않는다면 반복해서 문제를 수행한다.
시간 복잡도
빅오 표기법을 기준으로 f(30)을 계산하기 위해 약 10억가량의 연산을 수행해야 한다.
1.4 피보나치 수열의 효율적인 해법: 다이나믹 프로그래밍
1. 최적 부분 구조
큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다.
ex) f(4)를 (큰문제) 해결하기 위해 f(3), f(2)를 (작은 문제) 나눌 수 있다.
2. 중복되는 부분 문제
동일한 작은 문제를 반복적으로 해결
ex) 동일한 작은 문제를 (f(2))반복적으로 해결
피보나치 수열은 다이나믹 프로그래밍의 사용조건을 만족
1.5 메모이제이션(Memoization)
다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나
탑 다운방식이라고도 불림
한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법
같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져온다.
값을 배열에 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 한다.
1.6 탑다운 VS 바텀업
탑다운(메모이제이션) 방식은 하향식이라고도 하며 바텀업 방식은 상향식이라한다.
큰걸 작게 VS 작은걸 여러번
다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 바텀업 방식이다.
결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부른다.
엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념
메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념은 아니다.
한 번 계산된 결과를 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있다.
1.7 탑다운 다이나믹 프로그래밍 소스코드
# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100
#피보나치 함수를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
if x == 1 or x == 2:
return 1
# 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
if d[x] != 0:
return d[x]
#아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
return d[x]
print(fibo(99))
1.8 바텀업 다이나믹 프로그래밍 소스코드
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100
# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99
# 피보나치 함수 반복문으로 구현 (바텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1):
d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]
print(d[n])
1.9 피보나치 수여리 메모이제이션 동작 분석
이미 계산된 결과를 메모리에 저장하면 다음과 같이 색칠된 노드만 처리할 것을 기대할 수 있다.
1.10 다이나믹 프로그래밍 VS 분할 정복
다이나믹 프로그래밍과 분할 정복은 모두 최적 부분 구조를 가질 때 사용할 수 있다.
큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황
다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 부분 문제의 중복입니다.
다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복됩니다.
분할 정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않습니다.
1.11 분할 정복
분할 정복의 대표적인 예시인 퀵 정렬
한 번 기준 원소(Pivot)가 자리를 변경해서 자리를 잡으면 그 기준 원소의 위치는 바뀌지 않습니다.
분할 이후에 해당 피벗을 다시 처리하는 부분 문제는 호출하지 않습니다.
'5'는 위치가 바뀌지 않는다.
1.12 다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법
다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악
가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토
다른 방법이 없으면 다이나믹 프로그래밍을 고려
일반적으로 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많다.
