- 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법이다.
- 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록한다.
- 다이나믹 프로그래밍(동적 계획법)의 구현은 일반적으로 두 가지 방식(탑다운과 바텀업)으로 구성
- 동적(Dynamic)이란?
- 자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 프로그램이 실행되는 도중에 실행에 필요한 메모리를 할당하는 기법
- 다이나믹 프로그래밍에서 다이나믹은 별다른 의미가 없다.
1. 다이나믹 프로그래밍의 조건
- 최적 부분 구조(Optimal Substructure)
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.
- 중복되는 부분 문제(Overlapping Subproblem)
- 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 한다.
1.1 피보나치 수열
- 다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있다.
- 점화식
- 인접한 항들 사이의 관계식
- 피보나치 수열을 점화식으로 표현하면 다음과 같다.
- 프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열이나 리스트를 이용해 표현한다.
- 피보나치 수열이 계산되는 과정은 다음과 같이 표현할 수 있다.
- n번째 피보나치 수를 f(n)라고 할 때 4번째 피보나치 수 f(4)를 구하는 과정은 다음과 같다.
- f(4)를 호출하면 f(3)과 f(2)가 나오고 서로 더한다.
- f(3)이 호출됐으므로 f(2)와 f(1)을 호출하고 서로 더한다.
1.2 피보나치 수열 단순 재귀 소스코드
def fibo(x):
if x == 1 or x == 2:
return 1
return fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
#출력 결과
print(fibo(4))
3
1.3 피보나치 수열의 시간 복잡도 분석
- 단순 재귀 함수로 피보나치 수열을 해결하면 지수 시간 복잡도를 가지게 된다.
- 다음과 같이 f(2)가 여러 번 호출되는 것을 확인할 수 있다. (중복되는 부분 문제)
- 이미 구한 답을 메모리에 저장하지 않는다면 반복해서 문제를 수행한다.
- 빅오 표기법을 기준으로 f(30)을 계산하기 위해 약 10억가량의 연산을 수행해야 한다.
1.4 피보나치 수열의 효율적인 해법: 다이나믹 프로그래밍
- 1. 최적 부분 구조
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다.
- ex) f(4)를 (큰문제) 해결하기 위해 f(3), f(2)를 (작은 문제) 나눌 수 있다.
- 2. 중복되는 부분 문제
- 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결
- ex) 동일한 작은 문제를 (f(2))반복적으로 해결
- 피보나치 수열은 다이나믹 프로그래밍의 사용조건을 만족
1.5 메모이제이션(Memoization)
- 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나
- 탑 다운방식이라고도 불림
- 한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법
- 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져온다.
- 값을 배열에 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 한다.
1.6 탑다운 VS 바텀업
- 탑다운(메모이제이션) 방식은 하향식이라고도 하며 바텀업 방식은 상향식이라한다.
- 큰걸 작게 VS 작은걸 여러번
- 다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 바텀업 방식이다.
- 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부른다.
- 엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념
- 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념은 아니다.
- 한 번 계산된 결과를 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있다.
1.7 탑다운 다이나믹 프로그래밍 소스코드
# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100
#피보나치 함수를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
if x == 1 or x == 2:
return 1
# 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
if d[x] != 0:
return d[x]
#아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
return d[x]
print(fibo(99))
1.8 바텀업 다이나믹 프로그래밍 소스코드
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100
# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99
# 피보나치 함수 반복문으로 구현 (바텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1):
d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]
print(d[n])
1.9 피보나치 수여리 메모이제이션 동작 분석
- 이미 계산된 결과를 메모리에 저장하면 다음과 같이 색칠된 노드만 처리할 것을 기대할 수 있다.
1.10 다이나믹 프로그래밍 VS 분할 정복
- 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복은 모두 최적 부분 구조를 가질 때 사용할 수 있다.
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황
- 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 부분 문제의 중복입니다.
- 다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복됩니다.
- 분할 정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않습니다.
1.11 분할 정복
- 분할 정복의 대표적인 예시인 퀵 정렬
- 한 번 기준 원소(Pivot)가 자리를 변경해서 자리를 잡으면 그 기준 원소의 위치는 바뀌지 않습니다.
- 분할 이후에 해당 피벗을 다시 처리하는 부분 문제는 호출하지 않습니다.
- '5'는 위치가 바뀌지 않는다.
1.12 다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법
- 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악
- 가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토
- 다른 방법이 없으면 다이나믹 프로그래밍을 고려
- 일반적으로 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많다.
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